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用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2其中a1,a2,...an为正整数请别占位,把机会留给有能力有耐心的朋友
更新时间:2024-04-24 01:16:20
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问题描述:

用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2

其中a1,a2,...an为正整数

请别占位,把机会留给有能力有耐心的朋友

陈洪辉回答:
  用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2   证明:   当n=1时,a1*(1/a1)=1>=1^2成立.   假设当n=k时,命题成立.   即:(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)>=k^2   则n=k+1时,   (a1+a2+...+ak+a)*(1/a1+1/a2+...1/ak+1/a)   =(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak)+1   >=k^2+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak)+1{由n=k时的结论}   >=k^2+2*根号[a*(1/a1+1/a2+...1/ak)*1/a*(a1+a2+...+ak)]+1{算术平均数不小于几何平均数}   =k^2+2*根号[(1/a1+1/a2+...1/ak)*(a1+a2+...+ak)]+1{由n=k时的结论}   >=k^2+2*k+1   =(k+1)^2   因此当n=k+1时,命题成立.   命题得证.
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