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设A,B是群G的两个子集,证明:AB≤G充分条件是AB=BA.近世代数
更新时间:2024-04-20 16:19:03
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问题描述:

设A,B是群G的两个子集,证明:AB≤G充分条件是AB=BA.

近世代数

郝建军回答:
  题目有点问题,应该是A,B为子群,求证AB是子群的充要条件是AB=BA.   证:若AB是子群,则对于任意A的元素a及B的元素b,ab的逆b^(-1)*a^(-1)应在AB中,   反之亦然.   注意A^(-1)=A,B^(-1)=B,所以上面结果得到AB=BA.   反之,若AB=BA,则对于AB中的任意元素ab,其逆b^(-1)*a^(-1)在BA中,从而也在AB中,   即AB的每个元素的逆元仍在AB中;又,任取AB的两个元素a1b1,a2b2,它们的积为:   a1(b1*a2)b2,由于中间(b1*a2)属于BA,从而属于AB,可写成a3b3的形式,   所以a1(b1*a2)b2=a1(a3b3)b2=(a1a3)*(b3b2),属于AB,即AB关于乘法封闭,   所以AB是子群.   证毕!
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