关于极限思想,立体几何的一个数学问题.
用平行于半球底面的平面将这个半球截成n个高度相等的部分,当n=+∞时,半球被截得的n个部分相当于n个圆柱体,则有∑(V圆柱)=V半球.
易得:
π[R2-(R-R/n)2+R2-(R-2R/n)2…+R2-(R-nR/n)2]×R/n=2/3πR3(n=+∞)
[1-(1-1/n)2+1-(1-2/n)2+…+1-(1-n/n)2]×1/n=2/3(n=+∞)
{n-[(1-1/n)2+(1-2/n)2+…+(1-1/n)2]}×1/n=2/3(n=+∞)
[2/n×(1+2+…+n)-1/n2(12+22+…+n2)]×1/n=2/3(n=+∞)
(2n+1-2)/(n2)-(n+1)(2n+1)/(6n)=2/3(n=+∞)
但是事实并不是这样的,为什么呢?