如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若∠PDC=120°，求四棱锥P-ABCD的体积．
更新时间：2024-04-25 23:09:58
1人问答
问题描述：
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2．
（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（2）若∠PDC=120°，求四棱锥P-ABCD的体积．
李元平回答：
（1）∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB；
（2）取AB的中点E，连结DE、AC，设PA=x，
∵直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，
∴四边形BCDE为正方形，
可得Rt△ADE中，AE=AB-CD=1，DE=BC=1，得AD=
AE
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