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【f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→∞f(x)存在证明其一致连续】
更新时间:2024-04-19 03:10:09
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问题描述:

f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→∞f(x)存在证明其一致连续

童晓阳回答:
  设limf﹙x﹚=A﹙x趋于无穷大﹚   ∴任意ε存在X>A当x>X时|f﹙x﹚-A|<ε/4∴对任意x₁、x₂∈﹙X,﹢∞﹚有|f﹙x₁﹚-f﹙x₂﹚|≤|f﹙x₁﹚-A|+|f﹙x₂﹚-A|<ε/2   由康托定理f﹙x﹚在[a,X]一致连续因而存在δ<X-a使|x₁-x₂|<δ,x₁,x₂∈[a,X]时|f﹙x₁﹚-f﹙x₂﹚|<ε/2   从而对任意x₁,x₂∈[a,﹢∞﹚只要|x₁-x₂|<δ就有|f﹙x₁﹚-f﹙x₂﹚|<ε/2+ε/2=ε   ∴其一致连续
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