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求一个不定积分∫dx/[(x^2)√(a^2+x^2)](其中a>0)的解题步骤是不是可以用换元法,令x=atant?但是之后我解到一半积不下去了,
更新时间:2024-04-20 22:25:55
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问题描述:

求一个不定积分∫dx/[(x^2)√(a^2+x^2)](其中a>0)的解题步骤

是不是可以用换元法,令x=atant?但是之后我解到一半积不下去了,

林洪彬回答:
  x=atant   t=arctan(x/a)   dx=asec²tdt   √(a²+x²)=asect   原式=∫asec²tdt/(a³tan²tsect)   =∫sectdt/(a²tan²t)   =∫(1/cost)dt/(a²sin²t/cos²t)   =(1/a²)∫(cost/sin²t)dt   =(1/a²)∫(1/sin²t)d(sint)   =(-1/a²)∫(-1/sin²t)d(sint)   =-(1/a²)(1/sint)+C   =-csc[arctan(x/a)]/a²+C
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