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高一数学题圆锥的母线长L,高H,如果过圆锥顶点的截面积的最大值为L的平方的2分之1,则AH/L=根号2/2BH/L≥根号2/2CH/L≤根号2/2DH/L<根号2/2要解释啊shi
更新时间:2024-03-29 08:22:59
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问题描述:

高一数学题

圆锥的母线长L,高H,如果过圆锥顶点的截面积的最大值为L的平方的2分之1,则

AH/L=根号2/2

BH/L≥根号2/2

CH/L≤根号2/2

DH/L<根号2/2

要解释啊

shi

万正明回答:
  以下为证明过程(可以不看)   设底面半径为r,高为h,则OC^2=r^2-x^2.   VC^2=VO^2+OC^2=h^2+r^2-x^2   于是截面VAB的面积S=1/2*AB*VC=1/2*2x*√(h^2+r^2-x^2)   =√[x^2*(h^2+r^2-x^2)]   ≤[(x^2+(h^2+r^2-x^2))]/2=(h^2+r^2)/2.   此时,x=√[(h^2+r^2)/2.]   设圆锥的母线为l,则此时,S(max)=(h^2+r^2)/2=l^2/2,   可记为:母线平方的一半:   x=√[(h^2+r^2)/2.]=√2/2*l,2x=√2l.   可记为:底是母线的√2倍.   由此可见,当底面直径恰好为母线的√2倍时,轴截面的面积就是最大的面积了.   所以:当圆锥的轴截面三角形的顶角是直角或锐角时,过顶点的最大面积的截面就是轴截面.   即H/L=根号2/2   当圆锥的轴截面三角形的顶角是钝角时,过顶点的最大面积的截面不是轴截面,而是真正的h/L=根号2/2时最大   真正的h>H   所以H/L
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