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用数学归纳法证明,当n为正奇数时,x^n+y^n能被x+y整除求详解
更新时间:2024-04-16 22:01:22
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问题描述:

用数学归纳法证明,当n为正奇数时,x^n+y^n能被x+y整除

求详解

聂俊岚回答:
  当n=1时x+y能被x+y整除   当n=3时x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)能被x+y整除   假设当n=2k-1时x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除   和当n=2k+1时x^(2k+1)+y^(2k+1)能被x+y整除   当n=2k+3时   x^(2k+3)+y^(2k+3)   =[x^(2k+1)+y^(2k+1)](x^2+y^2)-x^2*y^(2k+1)-y^2*x^(2k+1)   =[x^(2k+1)+y^(2k+1)](x^2+y^2)-[x^(2k-1)+y^(2k-1)]x^2*y^2   由归纳假设[x^(2k+1)+y^(2k+1)](x^2+y^2)和[x^(2k-1)+y^(2k-1)]x^2*y^2能被x+y整除   所以x^(2k+3)+y^(2k+3)能被x+y整除
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