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当a,b,c,d满足什么条件时,函数f(x)=(ax+b)/(cx+d)(c≠0,x≠-(d/c))的反函数是他本身
更新时间:2024-03-29 21:10:00
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问题描述:

当a,b,c,d满足什么条件时,函数f(x)=(ax+b)/(cx+d)(c≠0,x≠-(d/c))的反函数是他本身

焦德朝回答:
  从两个方面讲:   一、反过来,如果,ad=bc,那么a/c=b/d,(ax+b)/(cx+d)为常数   常数函数没有反函数,所以,   f(x)=(ax+b)/(cx+d)存在反函数的必要条件是ad≠bc   二、在ad≠bc条件下,   设y=(ax+b)/(cx+d),则x=(b-dy)/(cy-a)   其反函数为y=(b-dx)/(cx-a)   要使f(x)反函数是本身,   须使(ax+b)/(cx+d)=(b-dx)/(cx-a)在定义域内恒成立   即(a^2-d^2)dx^2-c(a+d)x+b(a+d)=0在定义域内恒成立   这样,(a+d)(a-d)=0,c(a+d)=0,b(a+d)=0(*)   当a+d=0时,(*)中三个等式都成立.   所以,f(x)=(ax+b)/(cx+d)的反函数是它本身的条件是:   ad≠bc且a+d=0
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