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“有第一类间断点的函数一定不存在原函数”与“”只有有限个第一类间断的也一定可积”这两句话矛盾不?
更新时间:2024-03-29 23:29:22
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问题描述:

“有第一类间断点的函数一定不存在原函数”与“”只有有限个第一类间断的也一定可积”这两句话矛盾不?

宋孝林回答:
  首先只有有限个第一类间断点的函数未必(Riemann)可积.   例如Dirichlet函数,每点都是第二类间断点,不是可积的.   不过只有有限个间断点的有界函数一定是可积的.   可积和存在原函数是两个不同的概念.   可积是由Riemann和的收敛性刻画的.   而存在原函数是指其等于某个函数的导函数.   虽然有New-Leibniz公式将二者联系在一起,但前提是连续函数.   不仅存在没有原函数的可积函数,而且也存在有原函数的不可积函数.   所以关于这两个不同概念的这两句话是没有矛盾的(后一句需要修正).
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