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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC、PC于D、E两点,PB=BC,PA=AB=1.(1)求证:PC⊥平面BDE;(2)求三棱锥E-BCD的外接球的表面积.
更新时间:2024-04-19 23:18:22
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问题描述:

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC、PC于D、E两点,PB=BC,PA=AB=1.

(1)求证:PC⊥平面BDE;

(2)求三棱锥E-BCD的外接球的表面积.

董丽回答:
  (12分)   (1)证明:∵DE垂直平分线段PC,   ∴DE⊥PC,   又由PB=BC,PE=CE,   ∴BE⊥PC,   又由BE,DE⊂平面BDE,BE∩DE=E,   ∴PC⊥平面BDE   (2)连接BD,   由(1)中PC⊥平面BDE得:PC⊥BD,   PA⊥平面ABC得:PA⊥BD,   又由PA,PC⊂平面PAC,PA∩PC=P,   ∴BD⊥平面PAC,   ∴BD⊥AC,   而BE⊥PC,   故三棱锥E-BCD的外接球的球心即线段BC的中点,BC是球的直径,   ∵BC=2
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