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已知数列{an}的首项a1=4,前n项和为Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N+)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设函数f(x)=anx+an-1x2+…+a1xn,f′(x)是函数f(x)的导函数,令bn=f′(1),求数列{bn}的通项
更新时间:2024-04-25 20:49:47
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问题描述:

已知数列{an}的首项a1=4,前n项和为Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N+)

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设函数f(x)=anx+an-1x2+…+a1xn,f′(x)是函数f(x)的导函数,令bn=f′(1),求数列{bn}的通项公式,并研究其单调性.

马慧莲回答:
  (1)∵Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N+) ①   ∴Sn-3Sn-1-2(n-1)-4=0(n∈N+) ②   ①-②得an+1-3an-2=0,   即an+1+1=3(an+1)   ∴{an+1}是首项为5,公比为3的等比数列.   ∴an+1=5•3n-1,   即an═5•3n-1-1.   (2)∵f(x)=anx+an-1x2+…+a1xn,   ∴f′(x)=an+2an-1x+…+na1xn-1   ∴bn=f′(1)=an+2an-1+…+na1=(5×3n-2-1)+…+n(5×30-1)   =5[3n-1+2×3n-2+…+n×30]-n(n+1)2
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