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高一数学园与直线系方程(高手请进)已知圆C过点M(4,-2)N(1,1)且圆心在直线x+y+1=0上(1)求圆C的方程(2)是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的原过原点?存在,求出直线L的方程
更新时间:2024-03-29 00:38:40
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问题描述:

高一数学园与直线系方程(高手请进)

已知圆C过点M(4,-2)N(1,1)且圆心在直线x+y+1=0上

(1)求圆C的方程

(2)是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的原过原点?存在,求出直线L的方程

郭隆回答:
  1.   圆心在MN的垂直平分线y=x-3上   解得圆心为(1,-2),半径为√(1-1)²+(-2-1)²=3   方程为(x-1)²+(y+2)²=9   2.   设为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2)   若以AB为直径的圆经过原点,则∠AOB=90°   即AO⊥OB   ∴x1x2+y1y2=0   y1=x1+b,y2=x2+b   y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b²   所以可化为2x1x2+b(x1+x2)+b²=0……*   把直线方程代入圆方程可得:   2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0   x1+x2=-(b+1),x1x2=(b²+4b-4)/2   代入*式化简得:   b²+3b-4=0   b=1或b=-4   均能使判别式大于0   所以所求直线为   y=x+1或y=x-4
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