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已知函数f(x)=(x^2+ax+11)/(x+1),若对于任意的x属于R,f(x)大于等于3恒成立,求a的范围.为什么这种方法不对:x^2+ax+11)/(x+1)≥3,整理可得x^2+(a-3)x+8≥0,函数开口向上,只需要和x轴有一个或者没有交点就
更新时间:2024-03-28 23:10:00
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问题描述:

已知函数f(x)=(x^2+ax+11)/(x+1),若对于任意的x属于R,f(x)大于等于3恒成立,求a的范围.

为什么这种方法不对:

x^2+ax+11)/(x+1)≥3,整理可得x^2+(a-3)x+8≥0,函数开口向上,只需要和x轴有一个或者没有交点就可以了,判别式△=(a-3)^2-32≤0就可以求出来a的取值范围.解出来a≥3-4√2

而这种方法正确呢

由已知得(x^2+ax+11)/(x+1))≥3得出a≥3-x-8/x

记g(x)=3-x-8/x,下面求g(x)的最大值

g'(x)=(8-x^2)/x^2

当x≥3时,g'(x)

罗晓春回答:
  你没有考虑到正负号的问题   ax≥-x²+3x-8   这一步要分开讨论x是否大于0   若x大于0   a≥3-(x+8/x)≥3-4√2   若x小于0   a≤-x-8/x+3   -x-8/x≥3+4√2   综上3-4√2≤a≤3+4√2
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