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在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点(1)求证:PQ平行平面DCC1D1(2)求PQ与BC1所成的角(3)求证::EF平行平面BB1D1D
更新时间:2024-04-26 01:36:36
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问题描述:

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点

(1)求证:PQ平行平面DCC1D1

(2)求PQ与BC1所成的角

(3)求证::EF平行平面BB1D1D

乐艳回答:
  (1)取CD的中点G,DD1的中点H,连接:QG,PH,GH.由中位线定理,   知QG//BC且等于BC的一半.   PH//AD且等于AD的一半.由于BC=AD,且BC//AD 故QG=PH, 且QG//PH,即知:QGHP为平行四边形.   即得:PQ//GH, 从而PQ平行于平面DCC1D1 (一直线,平行于平面上的某一直线,则该直线就平行于这个平面).   (2) 连接D1C,由中位线定理,知D1C//GH, 从而PQ//D1C,   而又有BC1//AD1(因为ABC1D1为平行四边形)   故角AD1C即等于PQ与BC1所成的角.连接知三角形ACD1为正三角形.故角ADC1=60度.   即PQ与BC1所成的角为60度.   (3)取B1D1的中点K,连接KF,仍由中位线定理知:KF//B1C1,且等于其一半.   由此知EFKB为平行四边形,即知EF//BK.,故EF平行于平面BB1D1D((一直线,平行于平面上的某一直线,则该直线就平行于这个平面).
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