2010全国高中数学联赛山西省预赛第11题
一次足球赛有n支球队参加,每支球队预订的比赛场数分别是M1,M2,M3,……Mn.如果任两支球队之间最多安排一场比赛,则称(M1,M2,M3,……Mn)是一个有效安排.证明:如果(M1,M2,M3,……Mn)是一个有效安排,且M1≥M2≥……≥Mn,则可以去掉一支球队,并重新调整各队之间的对局情况,使得(M2-1,M3-1,……,M(m1+1)-1,M(m1+2)-1,……,Mn)也是一个有效安排.
最后的题目应该是(M2-1,M3-1,……,M(m1+1)-1,M(m1+2),……,Mn)是我打错了,十分抱歉。
如果A2到A(m1+1)中有球队没有与A1进行比赛,设为Aj,则在A2到A(m1+1)外,一定有一个球队Ak与A1比赛,由于Aj>Ak(就是这个地方,我认为有点错误,题目只是≥而不是>),故必有一个队As,与Aj比赛而没有与Ak比赛。
作出调整:取消Ak与A1,Aj与As的比赛,改为AjA1之间的比赛,AsAk之间的比赛。
以此类推,经过一系列的调整,就变成了那种特殊情况。
我假设了Aj=Ak的情况,当的时候Aj与Ak的所有对手都是相同,不属于答案的那种一般情况。那么这种情况,该怎么调整呢?
我好像又知道了,Aj与Ak的所有对手不可能都是相同,因为Ak的对手有A1,而Aj没有,那就行了,但答案的Aj>Ak还是有点欠考虑