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已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.(1)求此二次函数解析式;(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三
更新时间:2024-03-29 00:52:03
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问题描述:

已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.

(1)求此二次函数解析式;

(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

师国栋回答:
  (1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),∴根据题意,得,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(2)由y=﹣x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),∴CD==,BC==3,BD==2,∵CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=20,∴CD2+BC2=BD2,∴△BCD是直角三角形;(3)存在.CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1.①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据两点间距离公式,得x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,即y=4﹣x.又P点(x,y)在抛物线上,∴4﹣x=﹣x2+2x+3,即x2﹣3x+1=0,解得x1=,x2=<1,应舍去,∴x=,∴y=4﹣x=,即点P坐标为(,).②若以CD为一腰,∵点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3).∴符合条件的点P坐标为(,)或(2,3).
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