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【高中数学用向量证明三角形内心在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,证明:O为三角形ABC内心。在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应】
更新时间:2024-04-24 22:03:30
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问题描述:

高中数学用向量证明三角形内心

在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,证明:O为三角形ABC内心。

在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应三边长,证明:O为三角形ABC内心。

宋茂强回答:
  在纸上先把图画出来,然后延长CO交AB于D:以下全部为向量   所以OA=OD+DA,OB=OD+DB,依题意得:   aOA+bOB+cOC=0   所以,a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0   又因为,OD与OC共线,DA与DB共线,所以不妨设,OD=kOC   原式变为:(k(a+b)+c)OC+(aDA+bDB)=0   所以,aDA=-bDB,所以DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为角平分线。同理可证其他的两条也是角平分线。
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