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一道求点共线的高二数学题在正方形ABCR-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和D1C1的中点,P,Q分别为EF和BD的中点,对角线A1C与平面EFDB交于H点,求证:P,H,Q三点共线
更新时间:2024-04-18 19:41:31
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问题描述:

一道求点共线的高二数学题

在正方形ABCR-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和D1C1的中点,P,Q分别为EF和BD的中点,对角线A1C与平面EFDB交于H点,求证:P,H,Q三点共线

林守勋回答:
  (1)证法一:∵EF是△D1B1C1的中位线,   ∴EF∥B1D1.   在正方体AC1中,B1D1∥BD,   ∴EF∥BD.   由公理3知EF、BD确定一个平面,   即D、B、F、E四点共面.   证法二:延长BF,CC1交于点G,延长DE,CC1交于点G′.   G与G′重合DE,BF是相交直线D,B,F,E四点共面.   (2)证法二:正方体ABCD—A1B1C1D1中,设A1ACC1确定的平面为α,设平面DBFE为β,   ∵为α、β的公共点.   同理,P亦为α、β的公共点,   ∴R∈PQ,即P、Q、R三点共线.   帮助:证明多点共线,可先由两点确定一直线,证其余点在直线上.要证点在一条直线上,只需证明这点是两平面的公共点,而直线是两个平面的交线,这是证点在直线上的常用方法.   你可以任选其一哦~
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