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设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dtx>00x=0证明.在[0,正无穷)上连续且单调不减(其中n大于0)
更新时间:2024-04-25 04:26:36
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问题描述:

设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dtx>00x=0

证明.在[0,正无穷)上连续且单调不减(其中n大于0)

鲍民权回答:
  分子为积分,分母为x   因此F(x)必然可导   求导:   F'(x)=(x^(n+1)f(x)-∫(0到x)t^n*f(t)dt)/x^2   判断导函数分子正负号:   设g(t)=t^nf(t)   =>   x^(n+1)f(x)-∫(0到x)t^n*f(t)dt   =x*g(x)-∫(0到x)g(t)dt   有积分中值定理:   =x*g(x)-x*g(η)
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