【分析】(1)利用交点式将抛物线与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点代入,再把顶点坐标代入求得a的值,二次函数解析式即可求出;
(2)先证明△QOC∽△COA,再根据相似三角形的性质求出QO的长度,得出Q点的坐标,再求出直线DC的解析式,将两函数解析式联立求出交点坐标即可;
(3)设抛物线的对称轴与x轴的交点为E,首先求出二次函数顶点坐标,,以及、得出点M的坐标.
1、(1)设此抛物线的解析式为:,
∵抛物线与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点,
∴y=a(x-1)(x+3),
又∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴a(0-1)(0+3)=3,
∴a=-3
∴y=-(x-1)(x+3),
即.
(2)∵点A(1,0),点C(0,3),
∴OA=1,OC=3,
∵DC⊥AC,OC⊥x轴,
∴△QOC∽△COA,
∴,即,
∴OQ=9,
又∵点Q在x轴的负半轴上,
∴Q(-9,0),
设直线DC的解析式为:y=mx+n,则
解之得:
∴直线DC的解析式为:,
∵点D是抛物线与直线DC的交点,
∴
解之得:(不合题意,应舍去),
∴点.
(3)如图,点M为直线x=-1上一点,连接AM,PC,PA,
设点M(-1,y),直线x=-1与x轴交于点E,
∴AE=2,
∵抛物线的顶点为P,对称轴为x=-1,
∴P(-1,4),
∴PE=4,
则PM=|4-y|,
∵,
=5,
又∵
,
∴,
∵,
∴,
∴|4-y|=2,
∴,,
故抛物线的对称轴上存在点M使,
点M(-1,2)或(-1,6).
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型,特别注意数形结合法是这部分考查的重点,也是难点,应重点掌握.