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【初二数学几何题三角形ABC是正三角形,三角形BDC是等腰三角形,BD=CD,角BDC=120度,以D为顶点作一个60度的角,角的两边分别交AB,AC边于点M,N两点,连接MN.求证BM+CN=MN】
更新时间:2024-04-19 10:54:59
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问题描述:

初二数学几何题

三角形ABC是正三角形,三角形BDC是等腰三角形,BD=CD,角BDC=120度,以D为顶点作一个60度的角,角的两边分别交AB,AC边于点M,N两点,连接MN.求证BM+CN=MN

陆正福回答:
  证明:   延长MB至E,使BE=CN,连接ED   ∵∠BDC=120°,BD=DC   ∴∠CBD=∠BCD=30°   ∵△ABC是等边三角形   ∴∠ABC=∠ACB=60°   ∴∠CBD+∠ABC=∠BCD+∠ACB=90°   ∠ABD=∠ACD=90°   ∵∠DBE=180°-90°=90°   ∴∠DBE=∠ACD   ∵BD=DC,BE=CN   ∴△BED≌△CND   ∴DE=DN,∠EDB=∠NDC   ∴∠EDN=∠BDC   ∵∠BDC=120°   ∴∠EDN=∠BDC=120°   ∵∠MDN=60°   ∴∠EDM=120-60=60°   ∴EDM=∠MDN   ∵DE=DN,DM=DM   ∴△EDM≌△NDM   ∴MN=ME   ∵ME=BM+BE,BE=CN   ∴MN=BM+CN
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