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【一道三角函数数学题.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c且满足(2a-c)cosB=bcosC(1)求角B的大小(2)设m=(sinA,1),n=(3,cos2A),试求mn的取值范围】
更新时间:2024-03-29 13:51:34
1人问答
问题描述:

一道三角函数数学题.

在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c且满足(2a-c)cosB=bcosC

(1)求角B的大小

(2)设m=(sinA,1),n=(3,cos2A),试求mn的取值范围

刘宏宇回答:
  (1)首先证明三角形中的一个等式:ccosB+bcosC=a.   由余弦定理:cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac),cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),所以   ccosB+bcosC   =c*(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+b*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)   =(a^2+c^2-b^2)/(2a)+(a^2+b^2-c^2)/(2a)   =2a^2/(2a)   =a   即ccosB+bcosC=a.   因此由(2a-c)cosB=bcosC可知2acosB=ccosB+bcosC=a,即2acosB=a,所以cosB=1/2,但B为三角形内角,所以B=60度.   (2)mn   =(sinA,1)(3,cos2A)   =3sinA+cos2A(由倍角公式:cos2A=1-2(sinA)^2)   =-2(sinA)^2+3sinA+1(配方)   =-2(sinA-3/4)^2+17/8   因为B=60度,所以0
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