证明:
(1)
由A=I-ξξT得:
A2=(I-ξξT)(I-ξξT)=I-2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=I-(2-ξTξ)ξξT,
从而:A2=A⇔I-(2-ξTξ)ξξT=I-ξξT⇔(ξTξ-1)ξξT=0,
而ξ是n维非零列向量,因此:ξξT≠0,
故:A2=A⇔(ξTξ-1)ξξT=0⇔ξTξ-1=0⇔ξTξ=1.
(2)
由A=I-ξξT两边同时右乘ξ,得:Aξ=ξ-ξξTξ,
∴当ξTξ=1时,Aξ=ξ-ξ=0,
而ξ≠0,这说明Ax=0有非零解,
于是由克莱姆法则知:|A|=0,
故A不可逆.