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【设A=I-ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明(1)A2=A的充分条件是ξTξ=1.(2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.】
更新时间:2024-03-29 14:21:37
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问题描述:

设A=I-ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明

(1)A2=A的充分条件是ξTξ=1.

(2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.

庞辉回答:
  证明:   (1)   由A=I-ξξT得:   A2=(I-ξξT)(I-ξξT)=I-2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=I-(2-ξTξ)ξξT,   从而:A2=A⇔I-(2-ξTξ)ξξT=I-ξξT⇔(ξTξ-1)ξξT=0,   而ξ是n维非零列向量,因此:ξξT≠0,   故:A2=A⇔(ξTξ-1)ξξT=0⇔ξTξ-1=0⇔ξTξ=1.   (2)   由A=I-ξξT两边同时右乘ξ,得:Aξ=ξ-ξξTξ,   ∴当ξTξ=1时,Aξ=ξ-ξ=0,   而ξ≠0,这说明Ax=0有非零解,   于是由克莱姆法则知:|A|=0,   故A不可逆.
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