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辽宁阜新数学中考题二次函数大题如图1,抛物线y=ax^2+bx-4与x轴交于A(-1,0)、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的函数干系式;(2)设P是线段BC上的动点,过点P做直线PD⊥x
更新时间:2024-04-26 21:35:32
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问题描述:

辽宁阜新数学中考题二次函数大题

如图1,抛物线y=ax^2+bx-4与x轴交于A(-1,0)、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的函数干系式;(2)设P是线段BC上的动点,过点P做直线PD⊥x轴,垂足为D,交抛物线于点E.①若BC分△BDE的面积为2:3两部分,求点P的坐标;②设OD=m,△PCD的面积为S,求S与m的函数分析式;当m为何值时,S有最大值,并求出最大值;(3)如图2,设抛物线的对称轴与x轴交于点M,在抛物线上是否存在点Q,使得△QCM是以QC为底的等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请阐发来由.

范益政回答:
  (1)由题意,C(0,-4),所以B(4,0).将A,B坐标代入函数关系式,解方程组可得a=1,b=-3,所以抛物线为y=x^2-3x-4(或利用交点式得y=(x+1)*(x-4)=x^2-3x-4).   (2)   ①BC方程为y=x-4,设P点坐标为(x,x-4),则E(x,x^2-3x-4),所以   [0-(x-4)]:[x-4-(x^2-3x-4)]=2:3,解得x=3/2,所以P(3/2,-5/2).   ②P(m,m-4),所以S=1/2*(4-m)*m=-1/2(m^2-4m),当m=2时有最大值S=2.   (3)M(3/2,0).以M为圆心,MC为半径的圆的方程为(x-3/2)^2+y^2=(3/2)^2+4^2   即x^2-3x+y^2=16,抛物线方程y=x^2-3x-4,带入得y+4+y^2=16,解得y=3或y=-4,当y=3时,由y=x^2-3x-4可解的两个x,从而可以求的两个Q点坐标(带根号,不好打,你自己算吧),当y=-4时,解得x=0或x=3,则Q(0,-4)(为C点,舍),Q(3,-4).故,共有三个Q点符合题意.
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