梅文鼎证明
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED,
∵∠EGF+∠GEF=90°,
∴∠BED+∠GEF=90°,
∴∠BEG=180°―90°=90°
又∵AB=BE=EG=GA=c,
∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90°
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90°
即∠CBD=90°
又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°,
BC=BD=a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
,
∴BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S