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求微分方程y^2*y''+1=0积分曲线,使该积分曲线过点(0,1/2),且该点的切线斜率为2
更新时间:2024-04-26 14:50:59
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问题描述:

求微分方程y^2*y''+1=0积分曲线,使该积分曲线过点(0,1/2),且该点的切线斜率为2

石现峰回答:
  令y'=p=dy/dx,则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p,代入原方程得到:   y^2*dp/dy*p+1=0=>-pdp=1/y^2dy   两边同时积分上式得到:   -1/2p^2=-1/y+C1=>p^2=2/y+C1(仍用C1记常数)   该积分曲线过点(0,1/2),且该点的切线斜率为2,代入上式有:   2^2=4+C1=>C1=0=>p=dy/dx=√(2/y)=>√ydy=√2dx   积分上式化简即有:   x=√2/3*y^(3/2)+C2   过点(0,1/2),代入得到:C2=-1/6,所以积分曲线:   x=√2/3*y^(3/2)-1/6
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