如图1，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1F2，左、右顶点分别为A1，A2，T（1，32）为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）给出命题：“已知P是椭圆E上异于A1，A2的一点，直线 A1P，A2P分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M，N，点Q在直线l上．若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明；

（Ⅲ）试研究（Ⅱ）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S的直线m，并写出作图步骤．注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行．